1884年的深秋,格丁根的夜晚已被凛冽的寒意浸透。莫斯特教授家那间阁楼书房的老虎窗紧闭着,将呼啸的北风隔绝在外,但冰冷的空气仍如无形的幽灵,从木板的缝隙中丝丝渗入。室内,唯一的光源是书桌上一盏老旧的油灯,灯焰被调到最小,稳定地燃烧着,投下一圈昏黄而温暖的光晕,将堆积如山的书籍和散落的稿纸笼罩在一片静谧的孤岛之中。光晕之外,是深不见底的黑暗,仿佛整个宇宙都浓缩在这片有限的光明之外,沉默地注视着灯下的人。
艾莎·黎曼——或者说,在外界看来,是莫斯特教授体弱多病的孙女艾莎·莫斯特——就坐在这光晕的中心。她已经十六岁了,岁月并未在她身上留下太多健康的痕迹,身形依旧纤细得如同早春脆弱的柳枝,仿佛一阵稍大的风就能将她折断。苍白的肌肤在油灯柔和的光线下,显出一种近乎半透明的质感,淡青色的血管在薄薄的皮肤下若隐若现。然而,与她脆弱躯体形成惊心动魄对比的,是她那双深褐色的眼眸。此刻,这双眼睛正一眨不眨地凝视着摊开在桌面的一页手稿复印件,眸底深处燃烧着一种近乎狂热的、穿透一切迷雾的智力火焰,使得她整个人散发出一种摒弃了所有世俗干扰的、纯粹的精神性光辉。
莫斯特教授早已在楼下安睡,他年迈的呼吸平稳而悠长。整个宅邸,乃至整个小镇,似乎都沉入了梦乡。唯有艾莎,如同一个违背了自然律的守夜人,独自醒在这思想的深夜里。寒冷、疲惫、身体的种种不适,都被她强大的意志力屏蔽在外。对她而言,这片被油灯照亮的书桌,就是世界的全部,是她的疆域,她的战场,她的圣殿。
桌面上,摊开的是她父亲——伯恩哈德·黎曼——关于ζ函数那篇里程碑式论文的抄本。旁边散落着草稿纸,上面布满了她自己的笔迹:复杂的图形、试图可视化的草图,以及一些零碎的、试图捕捉灵感的词语。几年过去了,在莫斯特教授充满理解的引导和她自己贪婪的阅读下,她已经远远超越了仅仅“破译”父亲手稿的阶段。她深入了高斯、狄利克雷、雅可比等人的着作,对复分析、数论、椭圆函数和模形式有了相当深刻的理解——当然,始终是以她独特的、几何与拓扑优先的方式。
然而,黎曼ζ函数,这个数学中最神秘、最诱人也最令人困惑的对象,始终像一座巍峨的雪山,屹立在她探索之路的前方,散发着冰冷而崇高的魅力。她熟知它的解析表达式:ζ(s) = Σ 1/n^s, for Re(s) > 1,以及它通过解析延拓所能到达的更广阔的复平面。她知道那条着名的、未经证明却如同神话般的“黎曼猜想”:所有非平凡零点都位于复平面上的临界线 Re(s) = 1/2 上。她钻研过父亲论文中那些天才的、将ζ函数与素数分布联系起来的洞见。
但艾莎从不满足于仅仅将ζ函数视为一个冰冷的解析表达式,一组需要满足方程的点。在她与生俱来的拓扑认知里,每一个数学对象都首先是一个“形状”,一个“空间”,一个具有结构和变换规律的实体。ζ函数那蜿蜒曲折的取值路径,那些零点在临界带上的分布,在她看来,都暗示着一种深层的、尚未被揭示的几何或拓扑本质。
她的思绪,近来被模形式(Modulform)深深吸引。这些具有极强对称性的复变函数,如同宇宙间最精密的晶体结构。每一个权为k、级为N的模形式,都定义在一个复结构上(通常是某种复环面或更一般的黎曼曲面),其对称性(即模群作用下的不变性)使得它对应的黎曼曲面呈现出无比规则的几何形态。在艾莎的脑海中,每一个由模形式生成的、具有特定对称性的复结构,都像是一片独一无二的“雪花”。它们形态各异,却都遵循着某种深刻的、来自群论和复几何的“结晶律”。这些“雪花”无限多,构成了一个无比丰富而华丽的数学景观。
今夜,她的凝视焦点,正在ζ函数与这些模形式“雪花”之间来回移动。油灯的火焰轻微地跳动了一下,在她深褐色的瞳孔里投下摇曳的光点。她纤细的、指节分明的手指无意识地在草稿纸上轻轻划动,描摹着并不存在的图形。
一个宏大得几乎令人窒息的问题,逐渐在她脑海中成型,变得越来越清晰,越来越迫切:
如果……如果这些美妙的、各不相同的“雪花”(由模形式生成的复结构),并非孤立存在的精美标本呢?如果它们彼此之间,存在着某种深刻的、连续的联系呢?我们能否……能否想象一个更加宏伟的、无限维度的空间?一个流形,记作 M?
在这个流形 M 中,每一个点,都不再是普通空间里的位置,而是代表着一片具体的“雪花”——即一个特定的、具有某种对称性的复结构!这个空间 M 的“维度”将是无限的,因为描述这些复结构所需的参数(对称群的类型、模形式权与级的变化等)可以无限多且复杂。在这个构想中,M 的每一个点,都对应着一个完整的、自洽的“微观宇宙”,拥有其独特的几何和对称性。
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