1885年的寒冬,以一种不容置疑的强势姿态接管了格丁根。大雪封路,屋檐下悬挂着长长的冰凌,如同凝固的眼泪。莫斯特教授家宅邸的窗户缝隙被仔细地用布条塞紧,阁楼书房的炉火日夜不熄,竭力对抗着窗外肆虐的严寒。然而,比起物理上的寒冷,另一种更令人揪心的寒意,弥漫在艾莎的卧室里。
那场秋日风寒的后果,比预想的更为持久和严重。高烧虽然退了,但持续的咳嗽、低热和极度的虚弱感,如同附骨之疽,牢牢缠绕着艾莎。医生私下里对莫斯特教授表达了深切的忧虑,那些关于“肺部虚弱”、“需绝对静养”以及隐约提及的、如同家族诅咒般的“肺痨倾向”的词语,像冰冷的石块投入老人早已波澜四起的内心。艾莎大部分时间被禁锢在病榻上,原本就苍白的脸色更添了几分蜡黄,眼下的青黑愈发深重,使她看起来像一尊即将碎裂的石膏像。
肉体是精神的囚笼。这句话在艾莎身上得到了最残酷的印证。当她的思维渴望在“艾莎空间”的无限维度中穿梭,在梅林桥梁连接的大陆间探索时,她的身体却连支撑她坐起来长时间阅读都变得困难。剧烈的咳嗽会打断最精妙的思考,虚弱感如同潮水,时不时将她拖入昏睡的黑暗。这种被自身牢笼禁锢的痛苦,远比病痛本身更让她感到绝望。
然而,真正的思想者,即使在最狭窄的囚室里,也能让心灵抵达宇宙的尽头。无法伏案工作,并不意味着思维的停滞。在那些被迫卧床、意识清醒的间隙,艾莎的头脑反而获得了一种奇特的、内向的专注。外界的一切干扰被降到最低,只剩下纯粹的思想在内在的黑暗中无声地舞蹈。
她的思绪,不由自主地飘回了数学中一些更古老、更基本,却也与她核心关切隐隐相连的对象上。或许是病痛让她对生命的延续与脆弱有了更切肤的感受,她开始思考起一些关于“生成”与“延拓”的本质问题。这让她想起了那个着名的、模拟自然生长规律的数列——斐波那契数列。
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55……
这个数列的规律简单而优美:每一项都是前两项之和。它无处不在,从向日葵的种子排列到鹦鹉螺的螺旋,仿佛蕴含着某种宇宙间的生长密码。它的通项公式,由比内公式给出,优雅地揭示了其与黄金比例φ的深刻联系:
F? = (φ? - ψ?) / √5, 其中 φ = (1+√5)/2 ≈ 1.618...(黄金比例),ψ = (1-√5)/2 ≈ -0.618...
但这个公式,以及数列本身,在传统的数学视角下,是离散的。它只定义在正整数n上,像一个孤零零的、由一个个点构成的序列。
躺在病床上,望着天花板上的光影变化,艾莎的脑海中浮现出父亲黎曼那伟大的创举——解析延拓。父亲将原本只定义在实部大于1的复平面区域上的ζ函数,通过巧妙的解析技巧,延拓到了整个复平面(除了s=1这个单极点),从而揭示了ζ函数更深刻、更完整的性质,尤其是那些与非平凡零点相关的惊人秘密。
一个大胆的、充满诱惑力的想法,如同黑暗中划过的流星,照亮了她的思绪:
能否将离散的斐波那契数列,也像父亲处理ζ函数那样,“安放”到整个复平面上去?
这个想法本身,就充满了黎曼式的风格——不满足于局部的、离散的描述,追求整体的、连续的理解。离散的斐波那契数列,就像散落在实数轴正整数点上的珍珠,而解析延拓,就是要找到一根无形的、光滑的“金线”,将这些珍珠串联起来,并且这根“金线”要能自然地延伸到整个复平面,形成一个定义在连续复数域上的函数!
这个想法让她兴奋起来,甚至暂时压过了身体的疲惫。她向莫斯特教授要来了纸笔——不是用来进行大量演算,而是用来记录关键的想法和公式。莫斯特教授担忧她的身体,但看到她眼中重新燃起的那种熟悉的智力火焰,那是一种比任何药物都更能支撑她生命的光芒,他无法拒绝。
工具是现成的:生成函数。这是处理离散数列的强大武器。艾莎清晰地知道,斐波那契数列的生成函数是:
F(x) = x / (1 - x - x2)
这个有理函数,在 x 为实变量,且 |x| 小于某个收敛半径时,其幂级数展开的系数正好是斐波那契数。但现在,艾莎要做的,是进行一个关键的“换元”。她令 x = z?1(或者从另一种视角,直接考虑以复变量s为指数的生成函数)。
通过一系列巧妙而自然的变换(本质上是将离散的求和与复平面上的积分或解析延拓技巧联系起来),艾莎成功地从这个离散的生成函数出发,构造出了一个全新的、定义在整个复平面上的复变函数!我们或许可以称之为 “复斐波那契函数”,记为 ζ_F(s)。
这章没有结束,请点击下一页继续阅读!
喜欢零点的未尽之路请大家收藏:(m.x33yq.org)零点的未尽之路33言情更新速度全网最快。