1727年，欧拉（Euler）被指派到圣彼得堡。他在手稿《关于最近所做火炮发射试验的思考》（Meditation upon Experiments made recently on firing of Cannon）中引入符号e表示自然对数的底数。这份手稿直到1862年才发表。
1735年，欧拉引入了记号f(x)。
1736年，欧拉出版了《力学》（Mechanica），这是第一本基于微分方程的力学教科书。
约1750年，达朗贝尔研究了“三体问题”并将微积分应用到天体力学。欧拉、拉格朗日和拉普拉斯也进行三体问题的工作。
1750年，法尼亚诺（Giulio Fagnano）在《数学成果》（Produzioni matematiche）发表了他以前的大部分工作。它包含了双纽线的显着性质以及积分的加倍公式。欧拉利用这个公式证明了椭圆积分的加法公式。
1751年，欧拉发表了他的复数对数理论。
1755年，欧拉出版了《微分学原理》（Institutiones calculi differentialis），书的开头包含了有限差分的研究。
1765年，欧拉出版了《刚体运动理论》（Theory of the Motions of Rigid Bodies），它为分析力学打下了基础。
1769年，欧拉出版了他的三卷本《屈光学》（Dioptics）的第一卷。
1769年，欧拉提出了欧拉猜想，即三个四次幂的和不是一个四次幂，四个五次幂的和不是一个五次幂，高次幂依此类推。
1770年，欧拉出版了教科书《代数》（Algebra）。
1777年，欧拉在一份手稿中引入符号i表示-1的平方根，这跟手稿直到1794年才出版。
在1728年，哥德巴赫在思考一种整数数量的差值问题。
哥德巴赫心想：“阶乘一般是整数的，1、2、3、4、5、6的阶乘分别为1、2、6、24、120、720。”
哥德巴赫突然想：“那有没有非整数的阶乘，比如2.5的阶乘。”
哥德巴赫直接在纸上画出了1、2、3、4、5、6的自变量和对应的变量1、2、6、24、120、720这样的函数，自己描绘出了一个像是抛物线的这种阶乘曲线。
“从这样的函数上看，那必须是有的。但是，怎么样能求出那些非整数的阶乘值呢？”
这种延拓的问题，哥德巴赫只知道有，但不知道如何准确的去推导。
所以哥德巴赫给伯努利数学家族成员之一的丹尼尔·伯努利写了一封信，就是关于如何去求非整数的阶乘。
丹尼尔·伯努利看到信件后，心里觉得惊奇，认为哥德巴赫的思想很有趣，但是自己也无法解决。
恰巧欧拉在旁边，丹尼尔对欧拉说了这个事情。
22岁的欧拉也瞬间来了兴趣，直接拿着哥德巴赫的手稿，开始细致研究。
欧拉发现等比数列，在x绝对值小于1时，等比数列的和可以等于1/(1-x).
还有一个含e的积分方程，也等于1/(1-x).
这就推出了伽马函数。
最终得到了震惊世界的γ函数。
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