“问题不在现实里有没有。问题在旧数学解决不了新问题。”
李晨用手指蘸了点绿豆汤，在石桌上画了一条线。
“故事要从很久以前说起，那时候数学家之间流行一种挑战。你出一道方程我来解，谁解决更复杂的问题，谁就是高手。”
“最难的题之一就是三次方程。后来有个叫卡尔达诺的人，找到了三次方程的通用解法。轰动一时。但在推导过程中，他遇到了一个东西——负数的平方根。”
“根号负一。”柳轻颜说。
“对。按照以前的规则，这不存在。因为任何一个数平方之后都是正数。二的平方等于四。负二的平方也等于四。没有哪个数平方以后等于负一。所以当时很多数学家觉得这个东西没有意义，有人直接把它叫虚假的量。”
“虚假的量。”
柳轻颜念了一遍，像在嚼这四个字的味道。
“但有个数学家提出了一个大胆的想法。既然这个东西在公式里出现了，为什么不能假设它存在？于是他定义了一种新的数字，它的平方等于负一。这个数字后来被叫做i。虚数单位。”
李晨在石桌上写了个小小的i。
水渍在青石上慢慢洇开，笔画渐渐模糊。
“刚开始很多人接受不了，毕竟它不像普通数字，你在现实里找不到i个苹果。但数学家发现了一件非常神奇的事情。只要允许i存在，很多原本复杂的问题突然就解决了。三次方程解决了。大量代数公式变得统一，数学开始慢慢接受这种新数字。”
“后来数学家发现，虚数并不是孤零零的数字。真正重要的是复数。一个普通数字加上一个虚数组成的数字。比如三加二i。这里三叫实部，二i叫虚部。它既包含普通数字的信息，也包含虚数的信息。”
李晨又在桌上画了个坐标系。
“那这个东西到底代表什么？直到后来，数学家给出了一个非常漂亮的答案。复数其实可以看成二维空间的一个点。三加二i，横坐标是三，纵坐标是二。实数是一条线，复数是一整个平面。”
柳轻颜盯着桌上的水渍图，呼吸忽然轻了。
“这个发现非常重要。”
李晨的声音沉下来。
“因为在普通数字里面，乘法只是放大和缩小。但在复数的世界里，乘法还藏着一个功能——旋转。”
“旋转？”
“比如乘以i，相当于让一个点旋转九十度。再乘一个i，再旋转九十度。连续旋转两次就是一百八十度。所以i乘以i等于负一。这在几何上看特别直观。一个方向旋转一百八十度，就到了相反的方向。”
柳轻颜抓起笔，在麻纸上画起来。
先画一个点，标上一。然后乘以i，转到正上方，标上i。再乘以i，转到左边，标上负一。
“原来如此。”
她的声音很轻，像在自言自语。
“原来虚数不是假的，它只是描述旋转的另一种语言。旋转九十度，旋转一百八十度，旋转两百七十度。转一整圈又回到起点。实数轴加上虚数轴，就是一个平面上的坐标系。”
“这就是你的铁算盘里缺的那块东西。”
李晨点头。
“后来有个叫欧拉的数学家，发现了一个更神奇的公式。e的iθ次方等于cosθ加i乘sinθ。这个公式把几个数学里最重要的东西连在了一起。自然对数的底、圆周率、虚数。它告诉我们，指数增长、圆周运动、旋转，背后都是同一个数学结构。”
“同一个结构。”
柳轻颜重复了一句，手指无意识地在纸上画圈。
“到了后来，物理，复数开始展现真正的作用。第一个地方就是交流电。交流电的电压和电流会不断周期变化，但不同元件之间会产生时间差。电流可能比电压提前，也可能滞后。这个时间差叫相位差。”
“如果用普通数字计算，会出现大量三角函数，非常麻烦。但复数出现之后，震荡大小对应复数长度，变化方向对应复数的角度。所有问题一下子变成了简单的乘法。”
“王爷说的是电？”柳轻颜的眼睛亮了。
“不只是电。光、声波、无线通信，本质上都是波。波最重要的两个东西，一个是强弱，一个是相位。复数刚好天然适合描述这两个东西。所以今天的通信、雷达、图像处理，几乎都离不开复数。”
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