“好事。”父亲点头,“知道哪里不懂,比自以为懂了强。”
饭后,午休半小时。
下午两点,准时开始。
下午的任务是函数表示与性质,以及基本初等函数。
凌凡先梳理函数的三种表示方法:解析法、列表法、图象法。
他不再满足于知道这三种方法,而是深入思考:每种方法的优缺点,适用场景,以及如何相互转化。
解析法:精确,抽象,适合理论推导。但不够直观。
列表法:具体,有限,适合数据处理。但无法表示无限情况。
图象法:直观,生动,适合整体把握。但不够精确。
更重要的是,这三种方法体现了数学的三种思维方式:代数思维、数据思维、几何思维。
一个真正懂数学的人,应该能在这三种思维之间自由切换。
接下来是函数的性质:单调性、奇偶性、周期性、对称性。
这部分内容,他以前是通过大量做题掌握的。今天,他要从定义出发,理解这些性质的本质。
单调性:描述函数的变化趋势。本质是顺序关系的保持——自变量增大,函数值也增大(或减小)。
奇偶性:描述函数的对称性。本质是对称关系的体现——关于原点对称,或关于y轴对称。
周期性:描述函数的重复性。本质是平移不变性——平移一个周期,函数不变。
对称性:更一般的对称,包括中心对称、轴对称等。
理解本质后,他发现这些性质之间有着深刻的联系:
奇函数关于原点对称,这是一种特殊的中心对称。
偶函数关于y轴对称,这是一种特殊的轴对称。
周期函数经过平移后重合,这也是一种对称。
而所有这些性质,都反映了函数的内在结构,是研究函数的重要工具。
梳理完性质,他开始复习基本初等函数。
第一类:一次函数。
y=kx+b。太简单了。但他没有轻视。
他思考一次函数的本质:线性关系。
什么是线性?就是变化是均匀的,比例是恒定的。
一次函数描述了最简单、最普遍的线性关系。它是所有复杂函数的基础——任何光滑函数在局部都可以用一次函数近似(导数思想)。
然后,他把一次函数和生活中的线性关系联系起来:匀速直线运动,单价固定的购物,按小时计费的工作……
第二类:二次函数。
y=ax2+bx+c。
他思考二次函数的本质:抛物线,最值问题。
二次函数描述了加速度恒定的运动(自由落体),描述了面积、体积等二次变化,描述了最优化问题(求最大利润、最短时间)。
更重要的是,二次函数是多项式函数的基础,是研究函数性质的重要模型。
第三类:指数函数。
y=a^x。
这是他重点梳理的对象。因为指数函数体现了“指数增长”这一深刻思想。
他思考指数函数的本质:增长速度与自身成正比。
这意味着,指数函数描述的是“滚雪球”式的增长,是复利,是细菌繁殖,是信息扩散。
指数函数和它的反函数——对数函数,共同构成了描述倍数关系、等级关系的重要工具。
梳理完这三类函数,下午的时间已经过去大半。
凌凡休息十分钟,喝了点水,继续。
下午最后一部分:幂函数和三角函数。
幂函数:y=x^a。描述的是幂次关系,是面积与边长的关系(正方形面积与边长),是体积与边长的关系(立方体体积与边长)。
三角函数:正弦、余弦、正切。描述的是周期变化,是波动,是旋转,是振动。
这两类函数,连接了几何与代数,连接了静止与运动。
梳理完所有基本初等函数,凌凡在笔记本上画了一个关系图:
一次函数——线性关系——基础
二次函数——抛物线——最值
指数函数——快速增长——倍数
幂函数——幂次关系——缩放
三角函数——周期变化——波动
它们共同构成了函数世界的基石。
下午五点,任务完成。
凌凡合上笔记本,闭上眼睛,在脑海里回顾今天梳理的所有内容。
集合、函数、基本初等函数……
这些曾经分散的知识点,现在像一棵树一样,在他脑海里生长起来:
树根是数学思想(抽象、对应、模型)
树干是函数概念(定义、要素、表示)
树枝是函数性质(单调、奇偶、周期)
树叶是基本初等函数(一次、二次、指数、幂、三角)
脉络清晰,层次分明。
这就是知识树。
不是简单的罗列,而是有机的、有生命的整体。
晚上七点,晚饭后,凌凡开始晚上的工作:错题整理和知识体系构建。
他翻开错题本,今天做的题目不多,但每一道都有价值。
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