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(5)
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图2用户优先级变化示意图(L=2)
根据式(5)，MS2在经过tp1=log1-α?[??(t0)-?(t0)+1]-1个时隙后，获得调度．tp1取决于MS1和MS2的初始信道质量以及遗忘因子α．给定ρ1(t0)ρ2(t0)，MS1和MS2的初始信道质量差距越大(导致?ρ1(t0)-?ρ2(t0)越大)，α越小，则tp1越大．根据以上分析，图2给出两个MS的调度优先级随时间变化的示意图．从时隙t0开始，在接下来的tp1个时隙内，PF调度算法始终调度MS1．MS1和MS2的调度权重分别减小和增大，经过tp1个时隙，二者的调度优先级接近，MS1和MS2交替得到调度．若以mtp1(m为正整数)个时隙作为观测区间，当m较小时(短期观测)，系统公平性差;当m的取值足够大时(长期观测)，公平性改善．因此，对于信道质量差的用户，当其进入系统时间较短，或者在系统中短暂停留时，PF调度算法无法保证其及时地得到调度．为了获得全局公平性的改善，应设法减小tp1．
由于初始时隙t0的选取可以是任意的，可以用任意时隙t代替t0，表示从时隙t开始，经过tp1个时隙后，信道质量差的用户首次得到调度．根据t时隙L个用户调度优先级的方差?当?L=2时，ξ(t)=0.5[ρ1(t)-?ρ2(t)]2，可得?ρ1(t)=?ρ2(t)±(2ξ(t))12，代入tp1的表达式进行化简，可得
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(6)
根据式(6)，给定ρ2(t)和ξ(t)，增大α(α∈(0，1))可以减小tp1．扩展至L个用户的情况，给定时隙t全体用户调度优先级的方差ξ(t)，α决定tp1的大小，α越大，tp1越小，各用户的调度权重相互接近的速度越快，公平性越好．
3自适应PF调度算法
根据上一节的讨论，遗忘因子α越大，用户优先级的方差ξ(t)则以较快的速度减小，因此可以构造函数?α(t)=?f[ξ(t)]，使α(t)随ξ(t)自适应变化，实现全局公平性和系统速率的兼顾．如图2虚线所示，当ξ(t)较大时，设置较大的α(t)，加快用户优先级接近速度，以获得好的短期公平性;当ξ(t)较小时，设置较小的α(t)，使信道质量好的用户得到更多调度机会，保证好的速率性能．
由于在实际应用中遗忘因子常取0.01，文中以αref=0.01为基准对α(t)进行动态调整．又因为α(t)随着ξ(t)的增加而增大，若将α(t)视为信号的幅度衰减，则ξ(t)相当于频率，α(t)=?f[ξ(t)]，符合低通特性．由于巴特沃斯是一种典型的低通滤波器，参考其函数特性，根据ξ(t)动态调整α(t)如下:
?
(7)
因为α(t)随着ξ(t)单调递增，为了避免当ξ(t)→0时，α(t)→0，即所有用户的平均信道质量趋于恒定值，从而导致用户的调度权重仅由用户当前的信道质量决定，自适应PF(APF)成为最大吞吐量(MT)调度，信道质量差的用户将长时间得不到调度，则需要设置一个较小的正数ε保证?α(t)≠0，使用户的平均信道质量在每个时隙都经历变化，以维护系统的公平性．N(t)是ξ(t)的阶数，当?N(t)=0时，α(t)=?αref=0.01，此时APF成为传统的PF．
阶数N(t)越大，ξ(t)向0收敛越快，系统的短期公平性越好．但根据式(7)，N(t)越大，α(t)→0的速度越快，若?α(t)→0，所有用户的调度优先级将趋于恒定，导致调度集合趋于固定，即一部分用户始终得不到调度，从而使公平性下降．所以，设计N(t)为ξ(t)的单调递增函数如下:
N(t)=g[ξ(t)]=ξ(t)+τ?，
(8)
其中，τ是一个接近0的正数，保证N(t)≠0．APF在ξ(t)1时，N(t)1，并且N(t)随ξ(t)的增大而单调递增，从而得到大的α(t)，加速各用户优先级的汇聚(即?ξ(t)→0)，实现短期公平;当?ξ(t)1时，N(t)1，并且N(t)随ξ(t)的减小而降低，从而减慢?α(t)→0的速度，保证长期公平性．
根据香农公式，用户的可达数据速率是其信道质量的单调递增函数．因此，使用MSk在时隙t的信道质量qk(t)以及平均信道质量?分别代替该用户在时隙t的数据速率Rk(t)和平均速率?进行用户调度优先级的计算，则MSk在时隙t的优先级?执行前，基站需要初始化全体用户的起始平均信道质量?的基准为αref以及参数ε和τ．此后，在任意时隙t，APF的具体步骤如下:
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